[이코테] Chapter9-1 / 최단 경로(다익스트라, 플루이드 워셜 알고리즘)
가장 빠르게 도달하는 방법
최단 경로(Shrotest Path) 알고리즘은 말 그대로 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘이다. 그래서 '길 찾기' 문제 라고도 불린다.
최단 경로 알고리즘 유형에는 다양한 종류가 있는데 상황에 맞는 효율적인 알고리즘이 이미 정립되어 있다.
예를 들어 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우', '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우' 등의 다양한 사례가 존재한다.이런 사례에 맞는 알고리즘을 알고 있다면 문제를 좀 더 쉽게 풀 수 있다.
최단 경로 문제는 보통 그래프를 이용해 표현하는데 각 지점은 그래프에서 '노드'로 표현되고, 지점간 연결된 도로는 그래프에서 '간선'으로 표현된다. 또한 실제 코딩 테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다.
컴퓨터공학과 학부 수준에서 사용하는 최단거리 알고리즘은 다익스트라 최단 경로 알고리즘, 플로이드 워셜, 벨만 포드 알고리즘, 이렇게 3가지이다. 이 책에서는 이 중에 다익스트라 최단 경로와 플로이드 워셜 알고리즘 유형만 다루려 한다. 이 2가지가 코딩 테스트에서 가장 많이 등장하는 유형이다.
따라서 이 유형만 파악해도 코딩 테스트 수준에서의 최단 경로 문제는 어렵지 않게 해결할 수 있다.
더불어 앞서 공부한 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 최단 경로 알고리즘에 그대로 적용된다는 특징이 있다.
다시 말해 이번 장에서 배우는 내용은 사실 그리디 알고리즘 및 다이나믹 프로그래밍 알고리즘의 한 유형으로 볼 수 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다. 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때, 정상적으로 동작한다. 음의 간선이란 0보다 작은 값을 가지는 간선을 의미하는데, 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다. 매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다. 알고리즘의 원리를 간략히 설명하면 다음과 같다.
- 1. 출발 노드를 설정한다.
- 2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
- 3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
- 4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
- 5. 위 과정에서 3.번과 5.번을 반복한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리"정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다. 매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다. 나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것이다.
따라서 '방문하지 않은 노드 중에서 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 확인'해 그 노드에 대하여 4.번 과정을 수행한다는 점에서 그리디 알고리즘으로 볼 수 있다.
다익스트라 알고리즘을 구현하는 방법은 2가지이다.
- 방법 1. 구현하기 쉽지만 느리게 동작하는 코드
- 방법 2. 구현하기에 조금 더 까다롭지만 빠르게 동작하는 코드
시험을 준비하는 여러분은 방법 2를 정확히 이해하고 구현할 수 있을 때까지 연습해야 한다.
특히 알고리즘 대회를 준비하는 독자라면 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 자다가도 일어나서 바로 코드를 작성할 수 있을 정도로 코드에 숙달되어 있어야 한다. 또한 최단 경로 알고리즘을 응용해서 풀 수 있는 고난이도 문제들이 많으므로 방법 2를 이해하고 정확히 구현할 수 있다면 다양한 고난이도 문제를 만났을 때에도 도움을 얻을 수 있다.
우선 먼저 다익스트라 알고리즘의 동작 원리부터 살펴보자.
다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자.
예시에서 출발 노드를 1이라 하겠다. 1번 노드에서 다른 모든 노드로의 최단 거리를 계산해볼 것이다.
초기 상태에서는 다른 모든 노드로 가는 최단 거리를 '무한'으로 초기화한다. 앞서 설명했듯이 코드로는 999,999,999 등의 값으로 설정할 수 있다. (약 10억) 자릿수가 헷갈리지 않도록 하기 위해서 987,654,321로 설정하기도 한다. 가장 간단한 방법은 지수표기법을 사용하는 건데 1e9라고 사용하면, 1,000,000,000(10억)이다. 그런데 파이썬에서 기본으로 1e9를 실수 자료형으로 처리하므로 모든 간선이 정수형으로 표현되는 문제에서는 int(1e9)로 초기화한다. 앞으로의 소스코드에서 '무한'이라는 값을 대입할 때는 int(1e9)를 사용하겠다.
- step 0 : 먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는데, 출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.
- step 1 : 이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다. 즉, 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다.
현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)이다. 현재 2번, 3번 4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정되어 있는데, 새 노드에 대해서 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 새로운 값으로 갱신한다. 처리된 결과는 다음 그림과 같다. 현재 처리중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표현했다.
- step 2 : 이후의 모든 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다.
따라서 [step 2]에서는 4번 노드가 선택된다. 이어서 4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다.
4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다. 이때 4번 노드까지의 최단거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3), 2(1 + 1)이다. 두 값은 기존의 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 다음처럼 리스트가 갱신된다.
- step 3 : [step 3]에서는 2번 노드가 선택된다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데 이럴 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다. 그리고 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다.
이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다.
예를 들어 2번 노드를 거쳐서 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2 + 3)만큼의 비용이 발생한다.
하지만 이미 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 4이므로, 값이 갱신되지 않는다.
- step 4 : 이번에는 5번 노드가 선택된다. 5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다. 또한 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.
- step 5 : 이어서 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다.
- step 6 : 6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다. 지금까지의 최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.
최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발했을 때 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4 라는 의미이다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 '방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택' 하는 과정을 반복하는데, 이렇게 선택된 노드는 '최단 거리'가 완전히 선택된 노드이므로, 더 이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.
앞서 [step 6]까지의 모든 경우를 확인해보면, 실제로 한번 선택된 노드는 최단 거리가 감소하지 않는다.
예를 들어 [step 2]에서는 4번 노드가 선택되어서 4번 노드를 거쳐서 이동할 수 있는 경로를 확인했다.
이후에 [step 3]~[step 6]이 진행되었으나, 4번 노드에 대한 최단 거리는 더 이상 감소하지 않았다. 다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해 할 수 있다.
그렇기 때문에, 사실 마지막 노드에 대해서는 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 경우를 확인할 필요가 없다.
예를 들어 위의 예시에서 [step 6]을 수행할 때는 이미 5개 노드에 대한 최단 거리가 확정된 상태이므로 더 이상 테이블이 갱신될 수 없기 때문이다.
방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘
알고리즘을 실제로 구현해보자. 먼저 알고리즘을 그대로 구현하는 방법에 대해서 알아보겠다.
간단한 다익스트라 알고리즘은 O(V^2)의 시간 복잡도를 가지며, 다익스트라에 의해서 처음 고안되었던 알고리즘이다. 여기서 V는 노드의 개수를 의미한다. 이 알고리즘은 직관적이고 쉽게 이해할 수 있다. 처음에 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다.
이후에 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인(순차 탐색)한다.
앞서 다익스트라 알고리즘을 '최단 경로'를 구하는 알고리즘이라고 소개했는데, 왜 1차원 리스트에는 '최단 거리'만을 저장하고 있는지 궁굼할 수 있다. 사실 완벽한 형태의 '최단 경로'를 구하려면 책에서 제공하는 코드를 조금 수정해야 한다. 코딩 테스트에서는 대체로 특정한 노드에서 다른 특정한 노드까지의 최단 거리만을 출력하도록 요청하므로, 이번 장에서 '최단 경로'까지 모두 출력하는 내용은 다루지 않겠다.
참고로 다음 소스코드에서는 입력되는 데이터의 수가 많다는 가정하에 파이썬 내장 함수인 intput()을 더 빠르게 동작하는 sys.std.readline()으로 치환하여 사용하는 방법을 적용했다. 또한 DFS/BFS에서의 소스코드와 마찬가지로 모든 리스트는 (노드의 개수 + 1)의 크기로 할당하여, 노드의 번호를 인덱스로 하여 바로 리스트에 접근할 수 있도록 했다. 그래프를 표현해야 할 때 많이 사용하는 일반적인 코드 작성법이므로 기억해두자.
9-1.py
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1, n + 1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
# 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n - 1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
출력 예시
0
2
3
1
2
4
간단한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도
앞서 시간 복잡도는 O(V^2)이라고 했다. 왜냐하면 총 O(V)번에 걸쳐서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형탐색해야 하고,
현재 노드와 연결된 노드를 매번 일일이 확인하기 때문이다.
따라서 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5,000개 이하라면 일반적으로 이 코드로 문제를 풀 수 있을 것이다.
하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 이 코드로는 문제를 해결하기 어렵다. 노드의 개수 및 간선의 개수가 많을 때는 이어서 설명할 '개선된 다익스트라 알고리즘'을 이용해야 한다.
방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘
이제 개선된 다익스트라 알고리즘에 대해서 알아보자.
재차 설명하지만, 다익스트라 알고리즘을 간단히 구현하면 시간 복잡도가 O(V^2)이다. 하지만 지금 배울 구현 방법을 이용하면 다익스트라 최단 경로 문제르 ㄹ최악의 경우에도 시간 복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다.
여기서 V는 노드의 개수이고, E는 간선의 개수를 의미한다.
간단한 다익스트라 알고리즘은 '최단 거리가 가장 짧은 노드'를 찾기 위해서, 매번 최단 거리 테이블을 선형적으로(모든 원소를 앞에서부터 하나씩) 탐색해야 했다. 이 과정에서만 O(V)의 시간이 걸렸다. 하지만 최단 거리가 가장 짧은 노드를 단순히 선형적으로 찾는 것이 아니라, 더욱더 빠르게 찾을 수 있다면 어떨까? 알고리즘의 시간 복잡도를 더욱 줄일 수 있을 것이다.
개선된 다익스트라 알고리즘에서는 힙(Heap) 자료구조를 사용한다. 힙 자료구조를 이용하게 되면 특정 노드까지의 최단 거리에 대한 정보를 힙에 담아서 처리하므로 출발 노드부터 가장 거리가 짧은 노드를 더욱 빠르게 찾을 수 있다.
이 과정에서 선형 시간이 아닌 로그 시간이 걸린다. N = 1,000,000일 때, log(_2)N 이 약 20인 것을 감안하면 속도가 획기적으로 빨라지는 것임을 이해할 수 있다.
힙 설명
힙 자료구조에 대해서 간단히 알아보자. 힙 자료구조는 우선순위 큐(Priority Queue를 구현하기 위하여 사용하는 자료구조 중 하나다.
5장에서 'DFS/BFS'를 공부할 때 스택(Stack)과 큐(Queue)의 원리에 대해서 알아보았다. 스택은 가장 나중에 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제하고, 큐는 가장 먼저 삽입된 데이터를 가장 먼저 삭제한다. 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제한다는 점이 특징이다. 스택, 큐, 우선순위 큐 자료구조를 비교한 내용을 표로 나태나면 다음과 같다.
이러한 우선순위 큐는 데이터를 우선순위에 따라 처리하고 싶을 때 사용한다. 예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우를 가정해보자. 이런 경우에 우선순위 큐 자료구조를 이용하면 효과적이다.
대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리를 지원하기 때문에 일반적인 코딩 테스트 환경에서 우리가 직접 힙 자료구조부터 작성해서 우선순위 큐를 구현할 일은 없다. 따라서 이 책에서도 힙을 구현하는 방법에 대해서는 다루지 않을 것이다.
파이썬에서는 우선순위 큐가 필요할 때 PriorityQueue 혹은 heapq를 사용할 수 있는데, 이 두 라이브러리는 모두 우선순위 큐 기능을 지원한다. 다만 PriorityQueue 보다는 일반적으로 heapq가 더 빠르게 동작하기 때문에 수행시간이 제한된 상황에서는 heapq를 사용하는 것을 권장한다.
우선순위 값을 표현할 때는 일반적으로 정수형 자료형의 변수가 사용된다. 예를 들어 물건 정보가 있고, 이 물건 정보는 물건의 가치와 물건의 무게로만 구성된다고 가정해보자. 그러면 모든 물건 데이터를 (가치, 물건)으로 묶어서 우선순위 큐 자료구조에 넣을 수 있다.
이후에 우선순위 큐에서 물건을 꺼내게 되면, 항상 가치가 높은 물건이 먼저 나오게 된다. 대부분의 프로그래밍 언어에서는 우선순위 큐 라이브러리에 데이터의 묶음을 넣으면, 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위를 설정한다. 따라서 데이터가(가치, 물건)으로 구성된다면 '가치' 값이 우선순위 값이 되는 것이다. 이는 파이썬에서도 마찬가지다.
또한 우선순위 큐를 구현할 때는 내부적으로 최소 힙(Min Heap) 혹은 최대 힙(Max Heap)을 이용한다.
최소 힙을 이용하는 경우 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며, 최대 힙을 이용하는 경우 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다. 파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선하여 방문하므로 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
또한 최소 힙을 최대 힙 처럼 사용하기 위해서 일부러 우선순위에 해당하는 값에 음수 부호(-)를 붙여서 넣었다가, 나중에 우선순위 큐에서 꺼낸 다음에 다시 음수 부호(-)를 붙여서 원래의 값으로 돌리는 방식을 사용할 수 있다. 이러한 테크닉도 실제 코딩 테스트 환경에서는 자주 사용되기 때문에 기억해 놓자.
앞서 우선순위 큐를 구현할 떄는 힙 자료구조를 이용한다고 했는데, 사실 우선순위 큐를 구현하는 방법은 다양하다.
단순히 리스트를 이용해서 구현할 수도 있다. 데이터의 개수가 N개일 때, 구현 방식에 따라 시간 복잡도를 비교한 내용을 표로 확인해 보자. 리스트를 이용해서 우선순위 큐의 기능을 구현하기 위해서는 삭제할 때마다 모든 원소를 확인해서 우선순위가 가장 높은 것을 찾아야 하므로 최악의 경우 O(N)의 시간이 소요된다.
데이터의 개수가 N개일 때, 힙 자료구조에 N개의 데이터를 모두 넣은 뒤에 다시 모든 데이터를 꺼낸다고 해보자. 이때의 시간복잡도는 어떻게 될까? 삽입할 떄는 O(logN)의 연산을 N번 반복하므로 O(NlogN)이다. 따라서 전체 연산 횟수는 대략 2Nlog(_2)N 으로 빅오 표기법에 따라 전체 시간 복잡도는 O(NlogN)이 될 것이다. 사실 이는 힙 정렬(Heap Sort)의 원리를 설명한 것이며, 힙 정렬 구현 소스코드는 부록 A의 파이썬 문법 파트에서 제시하고 있다. 만약 동일한 작업을 리스트를 이용해 수행하고자 한다면, 시간 복잡도가 O(N^2)가 된다. N이 커지면 커질수록 시간 차이는 극명할 것이며, 대부분의 경우 힙을 이용했을 때 훨씬 빠르게 동작한다. 이처럼 힙을 이용하는 경우 모든 원소를 저장한 뒤에 우선순위에 맞게 빠르게 뽑아낼 수 있으므로 힙은 '우선순위 큐'를 구현하는데 가장 많이 사용된다.
최소 힙을 이용하는 경우 힙에서 원소를 꺼내면 '가장 값이 작은 원소'가 추출되는 특징이 있으며, 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리는 최소 힙에 기반한다는 점을 기억하자. 우리는 이러한 최소 힙을 다익스트라 최단 경로 알고리즘에 적용할 것이다. 단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 '거리'가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.
이번에는 단계별로 우선순위 큐가 어떻게 변하는지를 중심으로 살펴보자. 다음 그림에서는 단순히 우선순위 큐를 개념적으로 보여줄 것이다. 우선순위 큐 그림에서는 각 원소가 거리가 짧은 순서대로 왼쪽부터 나열하겠다. 우선순위 큐를 적용하여도 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다. 최단 거리를 저장하기 위한 1차원 리스트(최단 거리 테이블)는 아까와 같이 그대로 이용하고, 현재 가장 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로만 우선순위 큐를 추가로 이용한다고 보면 된다.
step 0 : 역시 1번 노드가 출발 노드인 경우를 고려해보자. 여기서는 다음과 같이 출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정한다. 이후에 우선순위 큐에 1번 노드를 넣는다. 이때 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이다.
즉, (거리: 0, 노드: 1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
파이썬에서는 간단히 튜플(0, 1)을 우선순위 큐에 넣는다. 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 입력받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다. 따라서 (거리, 노드 번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.
step 1 : 우리는 우선순위 큐를 이용하고 있으므로 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다. 기본적으로 거리가 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있다.
따라서 [step 1]의 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나온다. 이는 1번 노드까지 가는 최단 거리가 0이라는 의미이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산한다.
차례대로 2(0 + 2), 5(0 + 5), 1(0 + 1)이다. 현재 2번, 3번, 4번 노드로 가는 비용이 '무한'으로 설정되어 있는데, 더 짧은 경로를 찾았으므로 각각 갱신하면 된다. 이렇게 더 짧은 경로를 찾은 노드 정보들은 다시 우선순위 큐에 넣는다ㅏ. 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색으로, 이전 단계에서 처리한 노드는 회색, 간선은 점선으로 표시했다.
step 2 : 이어서 다시 우선순위 큐에서 원소를 꺼내서 동일한 과정을 반복한다. 이번에는 (1, 4)의 값을 찾는 원소가 추출된다. 아직 노드 4를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이다. 따라서 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인한다. 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1 + 3)과 2(1 + 1)이다. 이는 기존의 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 다음과 같이 리스트가 갱신되고, 우선순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 두 원소가 추가로 들어가게 된다. 앞서 말했듯이 현재 그림에서는 튜플의 첫 번째 원소(거리)가 작은 순서대로 왼쪽부터 기록하고 있다. 따라서 갱신된 우선순위 큐 또한 그림처럼 그려진다.
step 3 : 마찬가지로 [step 3]에서는 노드 2에 대해 처리한다. 2번과 5번 노드까지의 최단 거리가 모두 값이 2로 같으므로 어떤 원소부터 처리해도 상관은 없지만, 우선순위 큐에서 2번 노드가 꺼내졌다고 가정하자. 마찬가지로 2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 더 거리가 짧은 경우가 있는지 확인한다. 이번 단계에서는 2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없다. 따라서 우선순위 큐에 어떠한 원소도 들어가지 않고 다음과 같이 리스트가 갱신된다.
step 4 :이번 단계에서는 노드 5에 대해 처리한다. 5번 노드를 거쳐서 3번과 6번 노드로 갈 수 있다. 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존의 값인 4보다 작다. 따라서 새로운 값인 3으로 갱신한다. 또한 6번 노드로 가는 최단 거리 역시 마찬가지로 갱신된다. 그래서 이번에는 (3, 3)과 (4, 6)이 우선순위 큐에 들어간다.
step 5 : 마찬가지로 원소 (3, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 최단 거리 테이블이 갱신되지 않으며 결과는 다음과 같다.
step 6 : 이어서 원소 (4, 3)을 꺼내서 3번 노드를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 다만, 3번 노드는 앞서 처리된 적이 있다. 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 원소에는 3번 노드까지 가는 최단 거리가 4라는 정보가 들어 있다. 하지만 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리는 3이다. 따라서 현재 노드의 3번에 대해서는 이미 처리된 것으로 볼 수 있으므로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 (4, 3)이라는 원소는 무시하면 된다.
step 7 : 이어서 원소 (4, 6)이 꺼내진다. 따라서 6번 노드에 대해서 처리하면 다음과 같다.
step 8 : 마지막으로 남은 원소를 꺼내지만, 아까와 마찬가지로 이미 처리된 노드이므로 무시한다.
이와 같이 모든 단계를 거친 후에 최단 거리 테이블에 남아 있는 0, 2, 3, 1, 2, 4 가 각 노드로의 최단 거리이다.
위의 방법에서는 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해서 우선순위 큐를 이용하고 있으며, 앞서 보여줬던 방법과 비교했을 때 훨씬 빠르게 동작한다. 파이썬에서 표준 라이브러리로 제공하는 PriorityQueue와 heapq는 데이터의 개수가 N개일 때, 하나의 데이터를 삽입 및 삭제할 때의 시간 복잡도는 O(logN)이다.
개선된 다익스트라 알고리즘의 코드는 다음과 같다. 앞서 말했듯이 PriorityQueue보다 통상적으로 조금 더 빠르게 동작하는 heapq를 이용하는 방식으로 작성된 코드이다. heapq에 대한 더 자세한 설명은 부록에서 다루고 있다.
앞의 코드와 비교했을 때 get_smallest_ndoe()라는 함수를 작성할 필요가 없다는 특징이 있다.
'최단 거리가 가장 짧은 노드'를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.
9-2.py 개선된 다익스트라 알고리즘 소스코드
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a, b, c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b, c))
def dijkstra(start):
q = []
# 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
distance[start] = 0
while q: #큐가 비어있지 않다면
# 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q)
# 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시, 별도의 visited 테이블이 필요없이, 최단거리테이블을 이용해 방문여부 확인
if distance[now] < dist:
continue
# 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
# 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print("INFINITY")
else:
print(distance[i])
입력 예시
6 11
1
1 2 2
1 3 5
1 4 1
2 3 3
2 4 2
3 2 3
3 6 5
4 3 3
4 5 1
5 3 1
5 6 2
출력 예시
0
2
3
1
2
4
개선된 다익스트라 알고리즘이 시간 복잡도
앞서 배웠던 간단한 다익스트라 알고리즘에 비해 개선된 다익스트라 아고리즘은 시간 복잡도가 O(ElogV)로 훨씬 빠르다. 하지만 직관적으로 봤을 때, 이처럼 우선순위 큐를 이용하는 방식이 훨씬 빠른 이유에 대해서 잘 납득이 가지 않을 수 있다.
우리의 코드에서도 확인할 수 있듯이 한 번 처리된 노드는 더 이상 처리되지 않는다.
다시 말해 큐에서 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다. 또한 V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 모두 확인한다. 따라서 '현재 우선순위 큐 에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인' 하는 총횟수는 총 최대 간선의 개수(E) 만큼 연산이 수행될 수 있다.
따라서 전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 유사하다고 볼 수 있다. 앞에서 말했듯이 힙에 N개의 데이터를 모두 넣고, 이후에는 모두 빼는 과정은 O(NlogN)이다. 간단하게 생각하면 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 최대 E개의 간선 데이터를 힙에 넣었다가 다시 빼는 것으로 볼 수 있으므로 O(ElogE)임을 이해할 수 있다.
이때 중복 간선을 포함하지 않는 경우, E는 항상 V^2보다 작다. 왜냐하면, 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 했을 때 간선의 개수를 약 V^2으로 볼 수 있고 E는 항상 V^2 이하이기 때문이다. 다시 말해 logE는 logV^2보다 작다. 이때 O(logV^2)은 O(2logV)이고, 이는 O(logV)이다. 따라서 다익스트라 알고리즘의 전체 시간복잡도를 간단히 O(ElogV)라고 볼 수 있다.
현재 소스코드에서는 우선순위 큐의 개념이 들어가므로 시간 복잡도 계산을 바로 이해하기엔 어렵겠지만, 천천히 생각해보면 이해할 수 있을 것이다. 시간 복잡도 개념을 제대로 이해하지 못해도 최소한 다익스트라 최단 경로 알고리즘의 소스코드만 잘 기억해두자. 그러면 최단 경로 문제를 풀 수 있으며 많은 문제를 풀다보면 결국엔 정확한 내용까지 잘 이해하게 될 것이다.
또한 앞서 언급했듯이, 우선순위 큐는 실제로는 단순히 힙 자료구조로 구현할 수 있다. 거기다가 파이썬을 이용하면 힙을 직접 구현할 필요가 없다. '항상 가장 작은 값이 먼저 나온다'라는 특징을 지키면서, 단일 데이터 삽입과 삭제 연산은 O(logN)에 수행하는 heapq 라이브러리를 이용하면 된다. 또한 기본적으로 튜플의 첫 번째 원소인 '거리' 정보를 기준으로 해서 우선순위 큐를 구성하므로 거리가 짧은 원소가 항상 먼저 나온다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 우선순위 큐를 이용한다는 점에서 우선순위 큐를 필요로 하는 다른 문제 유형과도 흡사하다는 특징이 있다. 그래서 최단 경로를 찾는 문제를 제외하고도 다른 문제에도 두루 적용되는 소스코드 형태라고 이해할 수 있다. 예를 들어 그래프 문제로 유명한 최소 신장 트리 문제를 풀 때에도 일부 알고리즘(Prim 알고리즘)의 구현이 다익스트라 알고리즘의 구현과 흡사하다는 특징이 있다.
따라서 다익스트라 알고리즘을 바르게 이해할 수 있는 독자라면, 다른 고급 알고리즘도 이해할 가능성이 매우 높다.
플로이드 워셜 알고리즘
다익스트라 알고리즘은 '한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 최단 경로 알고리즘이다.
이번에 설명하는 플로이드 워셜 알고리즘(Floyd-Warshall Alogorithm)은 '모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 모두 구해야 하는 경우'에 사용할 수 있는 알고리즘이다.
심지어 소스코드 또한 매우 짧아서 다익스트라 알고리즘과 비교하면 구현 과정에서 어려움을 겪지는 않을 것이다. 다만, 핵심 아이디어를 이해하는 것이 중요하다.
다익스트라 알고리즘은 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택한다. 그리고 해당 노드를 거쳐 가는 경로를 확인하며, 최단 거리 테이블을 갱신하는 방식으로 동작한다. 플로이드 워셜 알고리즘 또한 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행한다. 하지만 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다는 점이 다르다. 노드의 개수가 N개 일 때 알고리즘상으로 N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(N^2)의 연산을 통해 '현재 노드를 거쳐 가는' 모든경로를 고려한다. 따라서 플로이드 워셜 알고리즘의 총시간 복잡도는 O(N^3)이다.
다익스트라 알고리즘에서는 출발 노드가 1개이므로 다른 모든 노드까지의 최단 거리를 저장하기 위해서 1차원 리스트를 이용했다. 반면에 플로이드 워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 2차원 리스트에 '최단 거리'정보를 저장해야 한다는 특징이 있다. 모든 노드에 대하여 다른 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 담아야 하기 때문이다. 다시 말해 2차원 리스트를 처리해야 하므로 N번의 단계에서 매번 O(N^2)의 시간이 소요된다.
또한 다익스트라 알고리즘은 그리디 알고리즘인데 플로이드 워셜 알고리즘은 다이나믹 프로그래밍 이라는 특징이 있다. 노드의 개수가 N이라고 할 때, N번 만큼의 단계를 반복하며 '점화식에 맞게' 2차원 리스트를 갱신하기 때문에 다이나믹 프로그래밍으로 볼 수 있다.
각 단계에서는 해당 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다. 예를 들어 1번 노드에 대해서 확인할 때는 1번 노드를 중간에 거쳐 지나가는 모든 경우를 고려하면 된다. 정확히는 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 후에 최단 거리를 갱신한다. 이를테면 현재 최단 거리 테이블에 A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용이 3으로 기록되어 있을 때, A번 노드에서 1번 노드를 거쳐 B번 노드로 이동하는 비용이 2라는 것이 밝혀지면, A번 노드에서 B번 노드로 이동하는 비용을 2로 갱신하는 것이다.
따라서 알고리즘에서는 현재 확인하고 있는 노드를 제외하고, N - 1개의 노드 중에서 서로 다른 노드(A, B)쌍을 선택한다.
이후에 A -> 1번 노드 -> B로 가는 비용을 확인한 뒤에 최단 거리를 갱신한다.
다시말해, (_N-1)P(_2)개의 쌍을 단계마다 반복해서 확인하면 된다. 이때 O((_N-1)P(_2)는 O(N^2)이라고 볼 수 있기 때문에, 전체 시간복잡도는 O(N^3)라고 할 수 있다. 구체적인 (K번의 단계에 대한) 점화식은 다음과 같다.
따라서 전체적으로 3중 반복문을 이용하여 이 점화식에 따라 최단 거리 테이블을 갱신하면 된다. 위의 점화식이 의미하는 내용을 말로 풀어 설명하자면, 'A에서 B로 가는 최소 비용'과 'A에서 K를 거쳐 B로 가는 비용'을 비교하여 더 작은 값으로 갱신하겠다는 것이다. 즉, '바로 이동하는 거리'가 특정한 노드를 거쳐서 이동하는 거리'보다 더 많은 비용을 가진다면 이를 더 짧은 것으로 갱신한다는 것이다. 다음 그림을 통해서 구체적인 예시를 확인해보도록 하자.
이런 그래프가 있을 때, 우리는 다음처럼 초기 테이블을 설정할 수 있다. 초기 상태인 [step 0]에서는 '연결된 간선'은 단순히 그 값을 채워 넣고, 연결되지 않은 간선은 '무한'이라는 값을 넣는다. 마찬가지로 실제 구현에서는 10억과 같이 임의의 큰 값을 '무한'이라고 여기고 넣는다. 앞서 다익스트라에서와 마찬가지로 파이썬에서는 int(1e9)를 이용하는 것이 일반적이다. 2차원 리스트에서 각 값에 해당하는 D(_ab)는 'a에서 b로 가는 최단 거리'이다.
예를 들어 1번 노드에서 4번 노드로 가는 비용은 6이기 때문에 다음의 2차원 리스트의 첫 번째 행의 네 번째 열의 값이 6인 것을 확인할 수 있다. 그리고 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0이므로, (1 <= i <= n)의 범위를 가지는 모든 i에 대하여 D(_ii)는 0이라는 값으로 초기화 한다. 즉, 왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 내려가는 대각선에 놓인 모든 원소는 0이다.
step 0
step 1 : [step 1]에서는 단순히 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려한다. 이때는 정확히 다음과 같이 6 = (_3)P(_2)가지 경우에 대해서만 고민하면 된다. 2차원 테이블에서는 다른 색으로 칠해 놓았는데, 계산해야 할 값들은 구체적으로 다음과 같다.
이 6가지 경우만 하나씩 확인하며 값을 계산하여 갱신한다. 예를 들어 D(_23) = min(D(_23), D(_21) + D(_13)) 은 '기존의 2번 노드에서 3번 노드로 가는 비용'보다 '2번 노드에서 1번 노드를 거쳐 3번 노드로 가는 비용'이 더 작다면, 그것으로 갱신해주겠다는 의미를 가진다.
그래서 D(_23)의 값은 D(_23)과 D(_21) + D(_13)중에 더 작은 값으로 교체된다. 다시말해 1을 거쳐 갈 때가 더 빠른 경우가 존재한다면 빠른 경으로 최단 거리를 갱신해주는 식이다.
이렇게 6가지 식을 모두 계산해서 값을 갱신하면 테이블이 다음과 같이 바뀐다. 예를 들어 D(_24)는 원래 '무한'의 값을 가졌는데, D(_21) + D(_14) = 9와 비교해서 9로 갱신된다.
step 2 : 마찬가지의 알고리즘을 [step 2]에 대해서도 수행할 수 있다. 현재 테이블의 상태는 다음과 같다.
이번에는 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 계산해야 하므로 2번 노드를 제외한 1번, 3번 4번 노드에서 2개의 노드를 뽑는 경우를 고려한다.
정확히 (1, 3), (1, 4), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)으로 6가지 경우가 있다. 각각의 위치를 테이블 상에서 하늘색으로 표시하면 다음과 같다. 이 6가지 값만 갱신하면 된다.
마찬가지로 하늘색 부분에 대해서만 고려하면 갱신 결과는 다음과 같다. 예를 들어 D(_13)은 원래 '무한'의 값을 가졌는데,
D(_12) + D(_23) = 11 과 비교해서 11로 갱신된다.
step 3 : 마찬가지로 3번 노드에 대해서도 동일한 과정을 반복하면 된다. 현재 테이블은 다음과 같은 값을 가지고 있다.
3번을 제외하고 1번, 2번, 4번 중에서 두 쌍을 선택하는 경우는 (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 2)로 6가지 경우가 있다.
이 6가지 경우를 색칠하면 다음과 같다.
마찬가지로 [step 3]에 대해서도 점화식에 맞게 테이블을 갱신하여, 변경된 결과를 확인하면 다음과 같다.
step 4 : 마찬가지로 4번 노드에 대해서도 처리할 수 있다. 현재 테이블의 상태는 다음과 같다.
4번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하면 다음과 같이 6가지 경우를 테이블에 색칠해두었다.
갱신된 결과는 다음과 같다.
최종 결과
노드의 개수가 4개이므로 총 [step 4]까지 알고리즘을 수행하였다. 그래서 [step 4]가 모두 수행되었을 때 최종적으로 테이블의 형태는 다음과 같다. 여기 기록되어 있는 내용이 모든 노드에서 모든 노드로 가는 최단 거리 정보를 표현하고 있다. 예를 들어 D(_13) (첫번째 행의 세번째 열)은 8이라는 값을 가지고 있는데, 이는 1번 노드에서 3번 노드로 가는 최단 거리가 8이라는 의미다.
소스코드는 다음과 같다. 시간 복잡도는 O(N^3)이다.
9-3.py 플로이드 워셜 알고리즘 소스코드
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = int(input())
m = int(input())
#2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n +1):
for b in range(1, n + 1):
if a == b:
graph[a][b] = 0
# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
# A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
a, b, c = map(int, input().split())
graph[a][b] = c
# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1): # k번 노드를 거쳐가는 경우
for a in range(1, n + 1): # a번 노드에서
for b in range(1, n + 1): # b번 노드로 갈 때
graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])
# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
for b in range(1, n + 1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if graph[a][b] == INF:
print("INFINITY", end=" ")
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(graph[a][b], end= " ")
print()
입력 예시
4
7
1 2 4
1 4 6
2 1 3
2 3 7
3 1 5
3 4 4
4 3 2
출력 예시
0 4 8 6
3 0 7 9
5 9 0 4
7 11 2 0
'Algorithm' 카테고리의 다른 글
| [이코테] Chapter9-3 / 전보(다익스트라 알고리즘) (0) | 2023.01.05 |
|---|---|
| [이코테] Chapter9-2 / 미래 도시(플로이드 워셜 알고리즘) (0) | 2023.01.04 |
| [이코테] Chapter8-5 / 효율적인 화폐 구성(다이나믹 프로그래밍) (0) | 2022.12.29 |
| [이코테] Chapter8-4 / 바닥 공사(다이나믹 프로그래밍) (0) | 2022.12.29 |
| [이코테] Chapter8-3 / 개미 전사(다이나믹 프로그래밍) (0) | 2022.12.28 |