[이코테] Chapter8-4 / 바닥 공사(다이나믹 프로그래밍)

바닥 공사

가로의 길이가 N, 세로의 길이가 2인 직사각형 형태의 얇은 바닥이 있다.
태일이는 이 얇은 바닥을 1 * 2 의 덮개, 2 * 1의 덮개, 2 * 2의 덮개를 이용해 채우고자 한다.

이때 바닥을 채우는 모든 경우의 수를 구하는 프로그램을 작성하시오. 예를 들어 2 * 3 크기의 바닥을 채우는 경우의 수는 5가지이다.

입력 조건

• 첫째 줄에 N이 주어진다. (1 <= N <= 1,000)

출력 조건

• 첫째 줄에 2 * N크기의 바닥을 채우는 방법의 수를 796,796으로 나눈 나머지를 출력한다.

입력 예시

3

출력 예시

5

 

---

문제 해설

이 문제 또한 마찬가지로 다이나믹 프로그래밍의 기초 예제에서 빠질 수 없는 타일링 문제 유형이다.
다이나믹 프로그래밍 문제에서는 종종 결과를 어떤 수로 나눈 결과를 출력하라는 내용이 들어가 있는 경우가 많다.
이 문제에서도 796,796으로 나눈 나머지를 출력하라고 하는데, 이는 단지 결괏값이 굉장히 커질 수 있기 때문에 그런 것이다.
따라서 값을 계산할 때마다 특정한 수로 나눈 나머지만 취하도록 하면 된다.

이 문제 또한 그림으로 그려서 생각하면 어렵지 않게 풀 수 있다.
예를 들어 N이 3일 때 바닥을 덮개로 채울 수 있는 모든 경우의 수는 다음과 같다.

또한 왼쪽부터 차례대로 바닥을 덮개로 채운다고 생각하면 어렵지 않게 점화식을 세울 수 있다.

• 1. 왼쪽부터 i - 1 까지 길이가 덮개로 이미 채워져 있으면 2 * 1의 덮개를 채우는 하나의 경우밖에 존재하지 않는다.

 

• 2. 왼쪽부터 i - 2까지 길이가 덮개로 이미 채워져 있으면 1 * 2 덮개 2개를 넣는 경우, 혹은 2 * 2의 덮개 하나를 넣는 경우로 2가지 경우가 존재한다. 참고로 2 * 1 덮개 2개를 넣는 경우를 고려하지 않는 이유는 1에서 이미 해당 경우가 고려되었기 때문이다.

또한 이 문제 역시 i 번쨰 위치에 대한 최적의 해를 구할 때 왼쪽부터 (i - 3)번째 이하의 위치에 대한 최적의 해에 대해서는 고려할 필요가 없다. 왜냐하면  사용할 수 있는 덮개의 형태가 최대 2 * 2 크기의 직사각형 형태이기 때문이다. 다시 말해 바닥을 채울 수 있는 형태는 위에서 언급한 경우밖에 없다. 따라서 다음과 같이 점화식을 세울 수 있다.

왼쪽부터 N - 2까지 길이가 덮개로 이미 채워져 있는 경우 덮개를 채우는 방법은 2가지 경우가 있다.
이 두 방법은 서로 다른 것이므로, 결과적으로 ai는 a_(i-1) + a_(i-2) + a_(i-2)가 된다.
따라서 이를 간략히 a_i = a_(i-1) + a_(i-2) * 2로 표현한 것이다.

8-7.py

# 정수 N을 입력받기
n = int(input())

# 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 1001

# 다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[1] = 1
d[2] = 3
for i in range(3, n + 1):
    d[i] = (d[i - 1] + 2 * d[i - 2]) % 796796

# 계산된 결과 출력
print(d[n])