[이코테] Chapter3-4 / 1이 될 때까지(그리디)

어떠한 수 N이 될 때까지 다음의 두 과정 중 하나를 반복적으로 선택하여 수행하려고 한다. 단, 두 번째 연산은 N이 K로 나누어떨어질 떄만 선택할 수 있다.

1. N에서 1을 뺀다.
2. N을 K로 나눈다.

예를 들어 N이 17, K가 4라고 가정하자. 이때 1번의 과정을 한 번 수행하면 N은 16이 된다. 이후에 2번의 과정을 두 번 수행하면N은 1이 된다. 결과적으로 이 경우 전체 과정을 실행한 횟수는 3이 된다.
이는, N을 1로 만드는 최소 횟수이다. 

N과 K가 주어질 때 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 최소 횟수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

[입력 조건]

• 첫째 줄에 N(2 <= N <= 100,000)과 K(2 <= K <= 100,000)가 공백으로 구분되며 각각 자연수로 주어진다. 이때 입력으로 주어지는 N은 항상 K보다 크거나 같다.

[출력 조건]

• 첫째 줄에 N이 1이 될 때까지 1번 혹은 2번의 과정을 수행해야 하는 횟수의 최솟값을 출력한다.

[입력 예시]

25 5

[출력 예시]

2

 

[문제 해설]

이 문제 또한 문제 해결을 위한 아이디어를 떠올릴 수 있으면 어렵지 않게 해결할 수 있다. 
주어진 N에 대하여 '최대한 많이 나누기'를 수행하면 된다. 왜냐하면 어떠한 수가 있을 때,
'2 이상의 수로 나누는 것'이 '1을 빼는 것'보다 숫자를 훨씬 많이 줄일 수 있기 때문이다. 문제에서는 K가 2이상의 자연수 이므로, 가능하면 나누는 것이 항상 더 숫자를 빠르게 줄이는 방법이 된다.

예를 들어 N이 9일 때 K가 3이라면 2번만 나누어도 순식간에 N = 9에서 N = 1이 된다. 그러므로 매우 빠르게 1을 만들 수 있다. 반면에 N = 9일 때 1을 빼는 방식만을 이용하면 8번을 빼야지만 N = 1을 만들 수 있다. 그러므로 K로 가능한 많이 나눴을 때 가장 빠르게 N = 1을 만들 수 있다. 

따라서 다음의 과정을 반복할 수 없을 때까지 반복하면 정답을 구할 수 있다.

1. N이 K의 배수가 될 때까지 1씩 뺴기
2. N을 K로 나누기      

예를 들어 N = 25, K = 3일 때는 다음과 같다.

그리디

6번의 과정으로 N = 1을 만들 수 있다. 그렇다면 위의 방법이 빠르게 동작하면서 그와 동시에 최적의 해를 보장한다는 것은 어떻게 알 수 있을까?

N = 27, K = 3일 때를 다시 생각해보자. 처음 3을 나누었을 때는 27에서 18이 줄어들어 N = 9가 된다.  그다음에 3으로 나누었을 때는 9에서 6이 줄어들어 N = 3이 된다. 다시 말해 N이 클수록 K로 나누었을 때 줄어드는 양이 더 많다. N이 처음엔 큰 수라고 해도 나누기를 수행하면서 크기가 빠르게 줄어든다. 다시말해 K가 2이상이기만 하면 K로 나누는 것이 1을 빼는 것보다 항상 빠르게 N의 값을 줄일 수 있으며 , N이 결국 1에 도달한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 K로 최대한 많이 나눌 수 있도록 하는 것이 최적의 해를 보장하는 것이다.
파이썬을 이용해 작성한 답안 예시는 다음과 같다.

[3-5.py 단순하게 푸는 답안 예시]

n, k = map(int, input().split())
result = 0

# N이 K 이상이라면 K로 계속 나누기
while n >= k:
    # N이 K로 나누어 떨어지지 않는다면 N에서 1씩 빼기
    while n % k != 0:
        n = n-1
        result = result + 1
    # K로 나누기
    n = n//k
    result = result + 1

# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 뺴기
while n > 1:
    n = n - 1
    result += 1

print(result)

문제에서는 N의 범위가 10만 이하이므로, 이처럼 일일이 1씩 빼도 문제를 해결할 수 있다. 하지만 N이 100억 이상의 큰 수가 되는 경우를 가정했을 때에도 빠르게 동작하려면, N이 K의 배수가 되도록 효율적으로 한 번에 빼는 방식으로 소스코드를 작성할 수 있다.

[3-6.py 답안 예시]

# N, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, k = map(int,input().split())
result = 0

while True:
    # (N == K로 나누어떨어지는 수)가 될 떄까지 1씩 뺴기
    target = (n // k) * k
    result = result + (n - target)
    n = target
    # N이 K보다 작을 때 (더이상 나눌 수 없을 때) 반복문 탈출
    if n < k:
        break
    # k로 나누기
    result = result + 1
    n = n//k

# 마지막으로 남은 수에 대하여 1씩 빼기
result = result + (n -1)
print(result)