[이코테] Chapter3-2 / 큰 수의 법칙(그리디 알고리즘)

• 난이도 - 하
• 풀이 제한 시간 - 30분
• 시간 제한 - 1초
• 메모리 제한 - 128MB
• 기출 - 국가 교육기관 코딩테스트

'큰 수의 법칙'은 일반적으로 통계 분야에서 다루어지는 내용이지만 민교는 본인만의 방식으로 다르게 사용하고 있다. 
민교의 큰 수의 법칙은 다양한 수로 이루어진 배열이 있을 때 주어진 수들을 M번 더하여 가장 큰 수를 만드는 법칙이다. 단 배열의 특정한 인덱스(번호)에 해당하는 수가 연속해서 K번을 초과하여 더해질 수 없는 것이 이 법칙의 특징이다. 

예를 들어 순서대로 2, 4, 5, 4, 6으로 이루어진 배열이 있을 떄 M이 8이고, K가 3이라고 가정하자.
이 경우 특정한 인덱스의 수가 연속해서 세 번까지만 더해질 수 있으므로 큰 수의 법칙에 따른 결과는 6+6+6+5+6+6+6+5인 46이 된다.

단, 서로 다른 인덱스에 해당하는 수가 같은 경우에도 서로 다른 것으로 간주한다.  예를 들어 순서대로 3, 4, 3, 4, 3으로 이루어진 배열이 있을 때 M이 7이고 K가 2라고 가정하자.
이 경우 두 번째 원소에 해당하는 4와 네 번쨰 원소에 해당하는 4를 번갈아 두 번씩 더하는 것이 가능하다. 결과적으로 4+4+4+4+4+4+4 인 28이 도출된다.

배열의 크기N, 숫자가 더해지는 횟수 M, 그리고 K가 주어질 때 민교의 큰 수의 법칙에 따른 결과를 출력하시오.

 

입력 조건

• 첫째 줄에 N(2 <= N <= 1000), M(1 <= M <= 10000), K(1 <= K <= 10000)의 자연수가 주어지며, 각 자연수는 공백으로 구분된다.
• 둘째 줄에 N개의 자연수가 주어진다. 각 자연수는 공백으로 구분한다. 단, 각각의 자연수는 1이상 10000이하의 수로 주어진다.
• 입력으로 주어지는 K는 항상 M보다 작거나 같다.

출력 조건

• 첫째 줄에 민교의 큰 수의 법칙에 따라 더해진 답을 출력한다.

입력 예시

5 8 3
2 4 5 4 6

출력 예시

46

그리디 알고리즘

문제 해설

이 문제는 전형적인 그리디 알고리즘 문제로, 문제 해결을 위한 아이디어를 떠올리는 것은 어렵지 않은 편이다.
다만, 문제 해결을 위한 아이디어를 떠올렸어도 구현 실수로 인해 오답 처리를 받는 경우가 많은 문제이므로 꼭 직접 코드를 작성해보는 것을 권장한다.

이 문제를 해결하려면 일단 입력값 중에서 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수만 저장하면 된다. 연속으로 더할 수 있는 횟수는 최대 K번 이므로 '가장 큰 수를 K번 더하고 두 번쨰로 큰 수를 한 번 더하는 연산'을 반복하면 된다. 이를 소스코드로 표현하면 다음과 같다.

[단순하게 푸는 답안 예시]

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())

# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수들을 정렬하기
first = data[-1] # 가장 큰 수
second = data[-2] # 두 번째로 큰 수

result = 0
while True:
    for i in range(k):#r가장 큰 수를 K번 더하기
        if m == 0: # m이 0이라면 반복문 탈출
            break
        result += first
        m -= 1 # 더할 때마다 1씩 빼기
    if m == 0: # m이 0이라면 반복문 탈출
        break
    result += second # 두 번째로 큰 수를 한 번 더하기
    m -= 1 # 더할 떄마다 1씩 뺴기

print(result) # 최종 답안 출력

이 문제는 M이 10000이하이므로 이 방식으로도 문제르 해결할 수 있지만, M의 크기가 100억 이상처럼 커진다면 시간 초과 판정을 받을 것이다. 간단한 수학적 아이디어를 이용해 더 효율적으로 문제를 해결해보자.
예를 들어 N이 5이고 입력값이 다음과 같이 주여졌다고 가정하자.

2

4

5

4

6

이때 가장 큰 수와 두 번째로 큰 수를 선택하면 다음과 같다.

• 가장 큰 수 : 6
• 두 번째로 큰 수 : 5

이때 M이 8이고, K가 3이라면 다음과 같이 더했을 때 합을 최대로 할 수 있다. 다시 말해 (6 + 6 + 6 +5) + (6 + 6 + 6 + 5)로 정답은 46이 된다.

6

6

6

5

6

6

6

5

이 문제를 풀려면 가장 먼저 반복되는 수열에 대해서 파악해야 한다. 가장 큰수와 두 번쨰로 큰 수가 더해질 때는 특정한 수열 형태로 일정하게 반복해서 더해지는 특징이 있다. 위의 예시에서는 수열 {6, 6, 6, 5}가 반복된다. *그렇다면 반복되는 수열의 길이는 어떻게 될까? 바로 (K + 1)로 위의 예시에서는 4가 된다. 따라서 M을 (K+1)로 나눈 몫이 수열이 반복되는 횟수가 된다. 다시 여기에 K를 곱해주면 가장 큰 수가 등장하는 횟수가 된다.

이때 M이 (K + 1)로 나누어떨어지지 않는 경우도 고려해야 한다. 그럴 때는 M을 (K + 1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려해주어야 한다. 즉, '가장 큰 수가 더해지는 횟수'는 다음과 같다. **

* 전통적으로 수학에서는 수열을 나타낼 때 중괄호를 이용하여{6, 6, 6, 5}와 같이 표현한다. 하지만 통상적으로 파이썬의 리스트 문법을 그대로 이용하여 [6,6,6,5]와 같이 쓰는 경우도 있다.
** 파이썬에서는 A를 B로 나눈 몫을 구하기 위해 int(A / B)라고 작성하거나, 혹은 A // B라고 작성한다. 여기에서는 int(A / B)를 이용한다.

int( M / (K + 1)) * K + M % (K + 1)

결과적으로 위의 식을 이용하여 가장 큰 수가 더해지는 횟수를 구한 다음, 이를 이용해 두 번째로 큰 수가 더해지는 횟수까지 구할 수 있는 것이다. 이를 토대로 파이썬을 이용해 답안을 작성하면 다음과 같다.

# N, M, K를 공백으로 구분하여 입력받기
n, m, k = map(int, input().split())

# N개의 수를 공백으로 구분하여 입력받기
data = list(map(int, input().split()))

data.sort() # 입력받은 수 정렬
first = data[-1] # 가장 큰 수
second = data[-2] # 두 번째로 큰 수

# 가장 큰 수가 더해지는 횟수 계산
count = int(m // (k+1)) * k
# m이 k+1로 나누어 떨어지지 않을 경우 M을 (K+1)로 나눈 나머지만큼 가장 큰 수가 추가로 더해지므로 이를 고려
count += m % (k+1)
            
result = 0
result += (count) * first # 가장 큰 수 더하기
result += (m -count) *second # 두 번쨰로 큰 수 더하기
            
print(result) #최종 답안 출력