10. [Algorithm] 크루스칼 알고리즘 (그래프 이론)

크루스칼 알고리즘 (Kruskal Algorithm)

 

신장 트리 중에서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리를 찾는 알고리즘을 '최소 신장 트리 알고리즘' 이라고 하는데,
대표적인 최소 신장 트리 알고리즘으로는 크루스칼 알고리즘 이 있다.

크루스칼 알고리즘 을 사용하면 가장 적은 비용으로 모든 노드를 연결할 수 있다.

• 크루스칼 알고리즘은 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘 이다.
• 그리디 알고리즘으로 분류된다.

 

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그렇다면, 신장 트리란 무엇인가?

• 신장 트리 란 하나의 그래프가 있을 때 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.

→ 이때 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는 다는 조건은 트리 의 성립 조건이기도 함.

 

 

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신장 트리는 알겠고.. 그러면 최소 신장 트리(Minimum Spanning Tree)는 무엇인가?

크루스칼 알고리즘 은 신장 트리 중에서도 최소한의 비용으로 만들 수 있는 최소 신장 트리를 찾는 알고리즘이다.
아래 그림을 통해 최소 신장 트리를 알아보자.

왼쪽 그래프에서 최소 신장 트리를 찾으면,
25를 제외한 2개의 간선(23+13)으로 이루어진 신장 트리가 바로 최소 신장 트리 가 된다.

즉, 신장 트리의 조건을 만족하면서 최소 비용으로 만들 수 있는 신장 트리가 최소 신장 트리 가 된다.

 

신장트리 라고도 하는 스패닝 트리는 다음과 같은 조건이 성립해야한다.

1. N개의 정점을 가지는 그래프에서 최소 N-1 개의 간선으로 연결되어 있다.
2. 그래프의 모든 정점을 포함한다.

그래프의 모든 정점을 가지고 있어야 신장트리의 조건이 만족되기 때문에, 간선의 갯수는 항상 N-1 개가 될 수 밖에 없고, N-1개의 간선과 N개의 정점으로 이루어진 그래프는 전체 그래프에 대한 사이클이 존재할 수 없기 때문에 항상 트리의 형태가 된다.

따라서 우리가 DFS나 BFS 로 탐색하면 각 정점들을 연결하게 되면 자연스럽게 Spanning Tree 가 완성이 된다.

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크루스칼 알고리즘 동작 과정

크루스칼 알고리즘이 구체적인 동작 과정은 아래와 같다.

1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다.
   
   1. 사이클이 발행하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
   2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.

 

크루스칼 알고리즘의 핵심 원리는 가장 거리가 짧은 간선부터 차례대로 집합에 추가하면 된다는 것이다. 
다만, 사이클을 발생시키는 간선은 제외하고 연결한다. 이렇게 하면 항상 최적의 해를 보장할 수 있다.

아래 그림을 통해 이해해보자.

• step 0 : 그래프의 모든 간선 정보만 따로 빼내어 정렬을 수행한다.
  (비용을 기준으로 오름차순 정렬을 한다. → 최소한의 비용으로 MST를 만들기 위함)

step 0

 

• step 1 : 비용이 가장 최소인 (3, 4)를 선택한 후 3번 노드와 4번 노드에 대하여 union 함수를 수행한다.

step 1

 

• step 2 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (4, 7)을 선택하여 처리한다.

step 2

 

• step 3 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (4, 6)을 선택하여 처리한다.

step 3

 

• step 4 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (6, 7)을 선택하여 처리한다.  
  하지만, (6, 7)을 방문할 경우(연결할 경우(=union()함수)) 사이클이 발생하므로(루트노드가 같으면) (6, 7) 간선을 연결하지 않는다.

step 4

 

• step 5 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (1, 2)을 선택하여 처리한다.

step 5

 

• step 6 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (2, 6)을 선택하여 처리한다.

step 6

 

• step 7 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (2, 3)을 선택하여 처리한다. 하지만 (2, 3)을 연결할 경우에도 사이클이 발생하므로 연결하지 않는다.

step 7

 

• step 8 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (5, 6)을 선택하여 처리한다.

step 8

 

• step 9 : 방문하지 않은 간선들 중에서 가장 최소인 (1, 5)을 선택하여 처리한다. 마찬가지로 (1, 5)를 연결하면 사이클이 발생하므로 연결하지 않는다.

step 9

 

[최종 결과]

최종 결과

 

최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다. 
위 예시에서는 총 비용이 159이다.

 

크루스칼 알고리즘  코드 (Python)

크루스칼 알고리즘을 코드로 구현할 때, 앞서 공부한 union-find 알고리즘을 이용하여 구현한다.

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
import sys


def find_parent(parent, x):
    # 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, x, y, rank):
    rootX = find_parent(parent, x)
    rootY = find_parent(parent, y)

    # rank가 큰 트리에 작은 트리를 붙인다.
    if rank[rootX] < rank[rootY]:
        parent[rootX] = rootY
    elif rank[rootX] > rank[rootY]:
        parent[rootY] = rootX
    else:   # 만약 rank가 같다면 임의로 rootX 트리에 rootY 트리를 붙인다.
        parent[rootY] = rootX
        rank[rootX] = rank[rootX]


# 크루스칼
def kruskal():
    total_weight = 0

    # [1] 간선들을 가중치가 적은 순서대로 오름차순 정렬한다.
    edges.sort()

    # [2] 간선들을 하나씩 추출하여 연결한다.
    for weight, v1, v2 in edges:
        if find_parent(parent, v1) != find_parent(parent, v2):  # 같은 집합(트리)에 있는 경우 union하지 않는다. 사이클이 생기기 떄문이다.
            union_parent(parent, v1, v2, rank)
            total_weight = total_weight + weight

    return total_weight

# 노드의 개수와 간선 (union 연산)의 개수 입력받기
v, e = map(int, input().split())

parent = [i for i in range(v + 1)]
rank = [0 for i in range(v + 1)]

edges = []
for i in range(e):
    v1, v2, w = map(int, sys.stdin.readline().rstrip().split())
    edges.append([w, v1, v2])

answer = kruskal()
print(answer)


'''
입력 예시
7 9
1 2 29
1 6 75
2 3 35
2 6 34
3 4 7
4 6 23
4 7 13
5 6 53
6 7 25

출력 예시
159
'''

 

시간 복잡도

• 시간 복잡도는 O(ElogE)
  크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E 개일 때, O(ElogE) 의 시간 복잡도를 가진다. 왜냐하면 시간이 가장 오래 걸리는 부분이 간선을 정렬하는 작업이며, E 개의 데이터를 정렬했을 때의 시간 복잡도는 O(ElogE) 이기 때문이다. → (Python 에서 .sort() 함수는 퀵 정렬을 기본으로 하며 퀵 정렬의 시간 복잡도는 O(NlogN) 이다.)
  크루스칼 내부에서 사용되는 서로소 집합 알고리즘의 시간 복잡도는 정렬 알고리즘의 시간 복잡도보다 작으므로 무시한다.